Formulasi Matematika AHP

Formulasi matematis dan metode proses hirarki analitik adalah hasi perbandingan berpasangan, pada himpunan kriteria atau himpunan alternatif dimana nilai-niiai perbandingan berpasangan diberikan dalam matrik yang berukuran n x n sebagai matrik A berikut (Jani Rahardjo, Ronald E Stok, danRosa Yustina, "Penerapan Multi-Criteria Decision Making Dalam Pengambilan Keputusan Sistem Perawatan" Jurnal Teknik lndustri Vol. 2, No. 1, Juni 2000,hlm. 34-42):

Dimana :

-a₁₁=1

-jika a_ij=a maka a_ji= 1/a ,a ¹O

jika Ci dinyatakan "sama pentingnya (equally importance)" terhadap Cj,maka a_ij=a_ji= 1

Selanjutnya dan matriks perbandingan berpasangan tersebut akan dicari bobot dari tiap-tiap kriteria yaitu Wi, dengan cara menormalkan rata-rata geometrik (geometric mean) dengan rumusan sebagai berikut:

Di dalam analisa multi kriteria ganda diperhitungkan juga kriteria kualitatif yang memungkinkan terjadinya ketidakkonsistensian (inconsistency) dalam penilaian perbandingan kriteria-kniteria atau alternatif- alternatif keputusan perbandingan yang diambil dikatakan "perfectly consistence" jika dan hanya jika a_ik, a_kj=a_ij, " i, j, k = 1,2,………, n.

Salah satu cara pengukuran konsistensi disarankan oleh Thomas L. Saaty melalui indeks konsistensi (Consistency Index) Cl yang dirumuskan sebagai berikut:

Dimana:

n=menyatakann kriteria/alternatif yang dibandingkan

l_max=nilai eigen (eigen value) yang terbesar dari matrik perbandingan berpasangan orde n.

Suatu pendekatan lain yang dapat digunakan untuk memperoleh nilai l_max dapat diformulasikan sebagai berikut :

Dimana

a_ij=elemen dari matrik berbalikan

W_j=obot dari kriteriaj

Jika CI bernilai 0 maka berarti keputusan penilaian tersebut bersifat sama dengan jumlah kriteria yang diperbandingkan yaitun kriteria. Semakin tinggi nilai Cl semakin tingi pula tingkat ketidak konsistensian dari keputusan perbandingan yang telah dilakukan.

Indeks konsistensi matrik random dengan skala 9 (1-9) beserta kebalikannya disebut sebagai indeks random (Random Index) RI. Berdasarkan perhitungan Thomas L. Saaty dengan menggunakan 500 sampel diperoleh nilai rata-rata indeks random (RI) untuk setiap ordo matrik tertentu sebagai berikut:

Tabel 2.3 Indeks Random ( RI )

Ordo Matrik	RI	Ordo Matrik	RI	Ordo Matrik	RI
1	0	6	1,24	11	1,51
2	0	7	1,32	12	1,48
3	0,58	8	1,41	13	1,56
4	0,9	9	1,45	14	1,57
5	1,12	10	1,49	15	1,59

(Sumber: Saaty, Thomas L., and Luis G. Vargas, 1994, The Analytical HierarchyProcess Vol. VII : "Decision Making in Economic, Political, Social, Technological Environments, 1st Edition, RWS Publications, Pittsburgh, p.9)

Rasio konsistensi CR (Consistency Ratio) dirumuskan sebagai berikut:

CR = CI / RI

apabila ratio konsistensi (CR) 0,10 maka hasil penelitian dapat diterima atau dipertanggungjawabkan. Jika tidak, maka pengambilan keputusan harus meninjau ulang masalah dan merevisi matrik perbandingan berpasangan.

Analisa Proses Hirarki

Analytical Hierarchy Process, selanjutnya disebut AHP, merupakan satu model yang fleksibel yang memungkinkan orang per orang atau kelompok untuk membentuk gagasan-gagasan dan membatasi masalah dengan asumsi mereka sendiri dan menghasilkan solusi yang bagi mereka (Saaty L. Thomas, Decision Making for Leaders; The Analytical Hierarchy Process for Decision in Complex World, 1988). Metode AHP dikembangkan awal tahun 1970-an oleh Dr. Thomas L. Saaty dan telah digunakan untuk membantu para pembuat keputusan dari berbagai negara dan perusahaan.

Prinsip kerja AHP adalah menyederhanakan masalah komplek yang tidak tenstruktur, strategik dan dinamik menjadi bagian-bagiannya, serta menata variabel dalam suatu hirarki (tingkatan). Kemudian tingkat kepentingan variabel diberi nilai numerik secara subyektif tentang arti pentingnya secara relatif dibandingkan dengan variabel lain. Dari berbagai pertimbangan tersebut kemudian dilakukan sintesa untuk menetapkan variabel yang memiliki prioritas tentinggi dan berperan untuk mempengaruhi hasil pada sistem tersebut. Perbedaan antara model AHP dengan model pengambilan keputusan lainnya terletak pada jenis inputnya Model AHP memakai persepsi manusiayang dianggap 'ekspert/ahli' sebagai input utamanya. Kriteria ekspert disini orang yang mengerti benar penmasalahan yang dilakukan, merasakan akibat suatu masalah atau punya kepentingan terhadap masalah tersebut. Pengukuran hal-hal kualitatif merupakan hal yang sangat penting mengingat makin kompleksnya permasalahan didunia dan tingkat ketidakpastian yang makin tinggi. Selain itu dalam AHP diuji konsistensi penilaiannya. Bila terjadi penyimpangan yang terlalu jauh dari nilai konsistensi sempurna maka penilaian perlu diperbaiki atau hirarki harus distruktur ulang. Keuntungan yang diperoleh bila kita memecahkan masalah dan mengambil keputusan dengan menggunakan AHP antara lain:

1. Kesatuan: AHP memberi satu model tunggal yang mudah dimengerti, luwes untuk keanekaragam persoalan tak terstruktur.
   
2. Kompleksitas: AHP memadukan ancangan deduktif dan ancangan berdasarkan sistem dalam memecahkan persoalan kompleks
   
3. Saling ketergantungan: AHP dapat menangani saling ketengantungan elemen-elemen dalam suatu sistem dan tak memaksakan pemikiran linear.
   
4. Penyusunan hirarki : AHP mencerminkan kecenderungan alami pikiran untuk rnemilah-milah elemen-elemen suatu sistem dalam berbagai tingkat berlainan dan mengelompokan unsur yang serupa dalam setiap tingkat.
   
5. Pengukuran : AHP memberi suatu skala untuk mengukur hal-hal dan mewujudkan metode penetapan prioritas.
   
6. Konsistensi : AHP melacak konsistensi logis dan pertimbangan- pertimbangan yang digunakan dalam menggunakan berbagai prioritas.
   
7. Sintesis : AHP menuntun kesuatu taksiran menyeluruh tentang kebaikan sistem alternatif.
   
8. Tawar-menawar : AHP mempertimbangkan prioritas relatif dari berbagai faktor sistem dan memungkinkan organisasi memilih alternatif terbaik berdasarkan tujuan mereka.
   
9. Penilai dan konsensus : AHP tidak memaksakan konsensus tetapi mensintesakan suatu hasil yang representatif dari berbagai penilaian.
   
10. Pengulangan proses : AHP memungkinkan organisasi memperhalus definisi mereka pada suatu persoalan dan memperbaiki pertimbangan serta pengertian mereka melalui pengulangan.