Formulasi Matematika AHP

Formulasi matematis dan metode proses hirarki analitik adalah hasi perbandingan berpasangan, pada himpunan kriteria atau himpunan alternatif dimana nilai-niiai perbandingan berpasangan diberikan dalam matrik yang berukuran n x n sebagai matrik A berikut (Jani Rahardjo, Ronald E Stok, danRosa Yustina, "Penerapan Multi-Criteria Decision Making Dalam Pengambilan Keputusan Sistem Perawatan" Jurnal Teknik lndustri Vol. 2, No. 1, Juni 2000,hlm. 34-42):

Dimana :

-a₁₁=1

-jika a_ij=a maka a_ji= 1/a ,a ¹O

jika Ci dinyatakan "sama pentingnya (equally importance)" terhadap Cj,maka a_ij=a_ji= 1

Selanjutnya dan matriks perbandingan berpasangan tersebut akan dicari bobot dari tiap-tiap kriteria yaitu Wi, dengan cara menormalkan rata-rata geometrik (geometric mean) dengan rumusan sebagai berikut:

Di dalam analisa multi kriteria ganda diperhitungkan juga kriteria kualitatif yang memungkinkan terjadinya ketidakkonsistensian (inconsistency) dalam penilaian perbandingan kriteria-kniteria atau alternatif- alternatif keputusan perbandingan yang diambil dikatakan "perfectly consistence" jika dan hanya jika a_ik, a_kj=a_ij, " i, j, k = 1,2,………, n.

Salah satu cara pengukuran konsistensi disarankan oleh Thomas L. Saaty melalui indeks konsistensi (Consistency Index) Cl yang dirumuskan sebagai berikut:

Dimana:

n=menyatakann kriteria/alternatif yang dibandingkan

l_max=nilai eigen (eigen value) yang terbesar dari matrik perbandingan berpasangan orde n.

Suatu pendekatan lain yang dapat digunakan untuk memperoleh nilai l_max dapat diformulasikan sebagai berikut :

Dimana

a_ij=elemen dari matrik berbalikan

W_j=obot dari kriteriaj

Jika CI bernilai 0 maka berarti keputusan penilaian tersebut bersifat sama dengan jumlah kriteria yang diperbandingkan yaitun kriteria. Semakin tinggi nilai Cl semakin tingi pula tingkat ketidak konsistensian dari keputusan perbandingan yang telah dilakukan.

Indeks konsistensi matrik random dengan skala 9 (1-9) beserta kebalikannya disebut sebagai indeks random (Random Index) RI. Berdasarkan perhitungan Thomas L. Saaty dengan menggunakan 500 sampel diperoleh nilai rata-rata indeks random (RI) untuk setiap ordo matrik tertentu sebagai berikut:

Tabel 2.3 Indeks Random ( RI )

Ordo Matrik	RI	Ordo Matrik	RI	Ordo Matrik	RI
1	0	6	1,24	11	1,51
2	0	7	1,32	12	1,48
3	0,58	8	1,41	13	1,56
4	0,9	9	1,45	14	1,57
5	1,12	10	1,49	15	1,59

(Sumber: Saaty, Thomas L., and Luis G. Vargas, 1994, The Analytical HierarchyProcess Vol. VII : "Decision Making in Economic, Political, Social, Technological Environments, 1st Edition, RWS Publications, Pittsburgh, p.9)

Rasio konsistensi CR (Consistency Ratio) dirumuskan sebagai berikut:

CR = CI / RI

apabila ratio konsistensi (CR) 0,10 maka hasil penelitian dapat diterima atau dipertanggungjawabkan. Jika tidak, maka pengambilan keputusan harus meninjau ulang masalah dan merevisi matrik perbandingan berpasangan.